مفارقة سانت بطرسبرغ

1. مقدمة

تُعدّ مفارقة سانت بطرسبرغ لغزًا كلاسيكيًا عند تقاطع نظرية الاحتمالات والاقتصاد والفلسفة. وتتعلق بيانصيب شديد التبسيط، هو يانصيب سانت بطرسبرغ، له قيمة نقدية متوقعة لا نهائية، ومع ذلك يبدو أنه لا يبرر سوى استعداد متواضع للدفع لدى معظم الفاعلين، بمن فيهم أولئك الذين يفهمون الرياضيات المتضمنة. وقد استُخدمت هذه الفجوة الظاهرة بين التوقع الشكلي والتقييم البديهي لتحدي الصيغ البسيطة لمبدأ أن على الفاعلين العقلانيين أن يعظّموا الربح النقدي المتوقع.

تُقدَّم المفارقة غالبًا بوصفها برهان خلف (reductio ad absurdum) على استدلال القيمة المتوقعة الساذج. فعند تطبيق الصيغة القياسية للتوقع على اليانصيب، تُنتج متسلسلة متباعدة. غير أنه حين يُسأل الأفراد عن المبلغ الذي سيدفعونه فعلًا للعب مثل هذه اللعبة مرة واحدة، تميل إجاباتهم إلى أن تكون محدودة ونسبيًا صغيرة. وينشأ التوتر حين يُؤخذ بجدية كلٌّ من الأمرين التاليين: النتيجة الرياضية القائلة إن اللعبة «ذات قيمة لا نهائية» بالمعنى النقدي، والحدس (والسلوك الملاحَظ) القائل إن دفع مبالغ كبيرة بلا حدّ للعب سيكون ضربًا من اللاعقلانية.

تبحث الأقسام اللاحقة كيف أثّر هذا اللغز في نظريات المنفعة والنفور من المخاطرة والقرار في ظل عدم اليقين، وكيف حفّز بدائل معيارية للاختيار في الحالات التي تنطوي على توقعات لا نهائية. ولا تكمن الأهمية الدائمة للمفارقة في لعبة رمي العملة بعينها بقدر ما تكمن في القضايا المفاهيمية التي تثيرها حول كيفية نمذجة التفضيلات، وتقدير النتائج شديدة الضعف احتمالًا، وتقييد المبادئ النظرية بحيث تتوافق مع الاتساق الرياضي والسلوك العقلاني المعقول معًا.

2. المنشأ والنسب

يعود أصل مفارقة سانت بطرسبرغ إلى المراسلات التي جرت في مطلع القرن الثامن عشر بين علماء الرياضيات العاملين في نظرية الاحتمالات الناشئة. وتُنسب اللعبة نفسها، والمسألة التي تولّدها، عادةً إلى أفراد من أسرة برنولي، وبخاصة نيكولاس برنولي (Nicolas Bernoulli) ودانيال برنولي (Daniel Bernoulli).

صياغة نيكولاس برنولي

ترد أقدم صياغة معروفة لهذه المسألة في رسالة كتبها نيكولاس برنولي عام 1713 إلى عالم الرياضيات الفرنسي بيير ريمون دو مونمور. وفي هذه المراسلة وصف نيكولاس لعبةً قائمة على رمي قطعة نقد، تتضاعف فيها المكافآت مع كل ظهور إضافي للكتابة، وسأل عن المبلغ الذي ينبغي أن يدفعه «الرجل العاقل» للمشاركة فيها. ويعدّ المؤرخون هذه الرسالة أول عرض واضح للمسألة.

" “لقد اقترحتُ مسألة معينة … يبدو فيها التوقع لا نهائيًا، ومع ذلك لن يراهن أحد عليها بمبلغ كبير.” — بتصرّف عن رسالة نيكولاس برنولي إلى دي مونتمور عام 1713

لم يُكمل نيكولاس حلّ المسألة بصورة تامة، لكنه أبرز التعارض بين التوقع اللانهائي والتقييم المحدود بوصفه اعتراضًا على قواعد القرار القائمة على التوقع البسيط.

تحليل دانيال برنولي

يُعدّ دانيال برنولي، ابن عم نيكولاس، صاحب المعالجة المعيارية للمفارقة. وفي ورقته البحثية الصادرة عام 1738:

" “Specimen theoriae novae de mensura sortis” (Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae)

حلّل اليانصيب تحليلًا مفصّلًا، واقترح ردًا قائمًا على المنفعة. وقد قُدّم هذا العمل إلى أكاديمية سانت بطرسبرغ عام 1731، فمنح المسألة اسمها الدائم وربطها بالمنفعة اللوغاريتمية.

التسمية والترسيخ

يعكس الاسم «مفارقة سانت بطرسبرغ» أو «لعبة سانت بطرسبرغ» انتماء دانيال برنولي إلى أكاديمية العلوم الإمبراطورية في سانت بطرسبرغ وقت تحليله، لا مكان اختراع اللعبة. ومع مرور الوقت، نسبت الكتب المدرسية والشراح اللاحقون المفارقة في الغالب إلى دانيال، في حين أكدت الدراسات التاريخية المتخصصة أسبقية نيكولاس في طرح المسألة.

Aspect

Nicolas Bernoulli

Daniel Bernoulli

Role

Original problem poser

Systematic analyst and resolver

Key document

Letter to de Montmort (1713)

Specimen theoriae novae de mensura sortis (1738)

Main contribution

Formulation of the paradoxical game

Utility-based interpretation and proposed solution

Usual textbook attribution

Often underemphasized

Commonly cited as “author” of the paradox

3. السياق التاريخي

ظهرت مفارقة سانت بطرسبرغ خلال مرحلة تكوينية لنظرية الاحتمالات والفكر الاقتصادي في أوروبا في بدايات العصر الحديث. وهي تعكس التيارات الفكرية في أوائل القرن الثامن عشر المحيطة بألعاب الحظ والتأمين وصنع القرار العقلاني في ظل المخاطرة.

الاحتمالات والألعاب وتقليد آل برنولي

بحلول الوقت الذي اقترح فيه نيكولاس برنولي اللعبة (1713)، كانت الأعمال الأساسية لكل من باسكال وفيرما وهويغنز ويعقوب برنولي قد أرست بالفعل الطرق التوافقية لحساب الاحتمالات. وقد صاغ كتاب «فن التخمين» (Ars Conjectandi) ليعقوب برنولي، الذي نُشر بعد وفاته عام 1713، الاحتمالَ بوصفه دليلاً إلى «التوقع المعقول»، رابطاً ألعاب الحظ بأسئلة أوسع عن الاعتقاد العقلاني والتسعير العادل.

في هذا السياق، يمكن النظر إلى لغز نيكولاس برنولي بوصفه اختباراً لحدود الفكرة القائلة إن القيمة المتوقعة يمكن أن تكون المقياس العام لقيمة المقامرة. وكانت لعبة سانت بطرسبرغ جزءاً من استخدام أوسع لليانصيب المثالية لاستكشاف معايير السلوك العقلاني.

الشواغل الاقتصادية المبكرة: التأمين والمنفعة

شهدت بدايات القرن الثامن عشر أيضاً اهتماماً متزايداً بالتأمين والمعاشات وحالات الحياة المرتبطة بالاحتمال، حيث تنطوي القرارات على مدفوعات مستقبلية غير مؤكدة. وكان رياضيون مثل أبراهام دي موافر يطبقون الاحتمالات على هذه المسائل المالية، وازداد الإدراك بأن المبلغ نفسه من المال قد يكون له معانٍ مختلفة لدى الناس في ظروف متباينة.

ارتبط تحليل دانيال برنولي اللاحق للمفارقة ارتباطاً وثيقاً بهذا الوسط. فقد كانت ورقته محفزةً صراحةً بقضايا عملية في التأمين البحري والاستثمار، لا بالمقامرة في حد ذاتها. وبذلك تقع المفارقة عند نقطة التقاء الاحتمالات الرياضية مع الأفكار الناشئة عن المنفعة واتجاهات الناس نحو المخاطرة.

الشبكات الفكرية وأكاديمية سانت بطرسبرغ

تشكلت المفارقة أيضاً بفعل عوامل مؤسسية وجغرافية. فقد كانت شبكات المراسلات بين الرياضيين، التي كانت تربط بازل وباريس ولندن وسانت بطرسبرغ، الوسيلة التي تداولت من خلالها المسائل والحلول. وقد أتاحت عضوية دانيال برنولي في أكاديمية العلوم الإمبراطورية في سانت بطرسبرغ الإطار لعرضه عام 1731، الذي ساعد على ترسيخ المفارقة بوصفها مسألة «سانت بطرسبرغ».

العامل السياقي

الصلة بالمفارقة

تطور الاحتمالات

وفّر أدوات لحساب التوقعات وطرح اللغز

نمو التأمين والتمويل

أثار أسئلة حول التقييم العقلاني للاحتمالات الخطرة

الأكاديميات العلمية والمراسلات

أتاح نشر المفارقة والنقاش النقدي حولها

ضمن هذه البيئة التاريخية، أصبحت مفارقة سانت بطرسبرغ حالة اختبار لمدى إمكانية توسيع النظريات الاحتمالية والاقتصادية الناشئة دون مراجعة.

4. لعبة سانت بطرسبرغ موصوفةً

لعبة سانت بطرسبرغ هي لعبة مقامرة مبسّطة تُعرَّف بقاعدة بسيطة تتضمن رمياتٍ متكررة لعملة معدنية ومكافآتٍ تتزايد أُسّياً. وبنيتها حاسمة في توليد قيمة نقدية متوقعة لا نهائية.

قواعد اللعبة

النسخة المعيارية تسير على النحو الآتي:

تُرمى عملةٌ معدنية عادلة مراراً وتكراراً إلى أن تظهر الوجه الأول «الصورة» للمرة الأولى.

لتكن n رقم الرمية التي يظهر فيها الوجه الأول «الصورة» لأول مرة (n = 1، 2، 3، …).

المكافأة التي يحصل عليها اللاعب هي 2ⁿ وحدة نقدية (مثلاً دوكات).

وعليه:

رمية ظهور الوجه الأول «الصورة» لأول مرة (n)

الاحتمال (عملة عادلة)

المكافأة (وحدات نقدية)

الرمية الأولى

1/2

2

الرمية الثانية

1/4

4

الرمية الثالثة

1/8

8

الرمية الرابعة

1/16

16

…

…

…

الرمية رقم n

(1/2)ⁿ

2ⁿ

السمة المميزة هي مضاعفة المكافأة مع كل وجه «كتابة» إضافي قبل ظهور الوجه الأول «الصورة».

رسم الدخول واللعب لمرة واحدة

يُطلب من اللاعبين تسمية أقصى رسم دخول يكونون مستعدين لدفعه مقابل لعبةٍ واحدة من هذه اللعبة. لا يوجد تكرار أو فرصة لمتوسطة النتائج عبر لعبات كثيرة ضمن الإعداد المفارق المعياري؛ إذ يتعلق القرار بمشاركةٍ لمرة واحدة.

رسمياً، إذا رمزنا بـ c إلى تكلفة الدخول، فإن:

إذا لم يلعب اللاعب، يبقى ثراؤه w₀.

إذا لعب اللاعب، فإن ثراءه النهائي هو w₀ − c + 2ⁿ، حيث تتحدد n بتسلسل رميات العملة.

تنشأ المفارقة عندما تُدمج بنية اللعبة البسيطة هذه مع القاعدة الكلاسيكية لحساب التوقع ومبدأ معياري حول كيفية ضبط اللاعبين العقلانيين للرسم c. تُعالج هذه المسائل في الأقسام اللاحقة؛ أما هنا فالعناصر الجوهرية هي التناقص الهندسي للاحتمالات والنمو الهندسي للمكافآت، اللذان يخلقان معاً نمط المكافآت المميز للعبة سانت بطرسبرغ.

5. الصياغة الرسمية للمفارقة

تُصاغ المفارقة عادةً بوضع ادعاءين متجاورين: نتيجة رياضية تتعلق بالقيمة النقدية المتوقعة للّعبة، وادعاء سلوكي أو معياري حول ما ينبغي للفاعلين العقلانيين أن يكونوا مستعدين لدفعه.

الإعداد الرياضي

لنفرض:

X هو المتغير العشوائي الذي يمثل العائد النقدي للقرعة الأوروبية (سانت بطرسبرغ).

n ∈ {1, 2, 3, …} يدل على الرمية التي يظهر فيها الوجه الأول (الصورة) لأول مرة.

P(n) = (1/2)ⁿ (بالنسبة لعملة عادلة).

Payoff(xₙ) = 2ⁿ.

عندئذٍ:

X = 2ⁿ بالاحتمال P(n) = (1/2)ⁿ.

تبلغ القيمة النقدية المتوقعة (EMV) لهذه اللعبة:

E[X] = ∑_n=1^∞ P(n) · 2ⁿ = ∑_n=1^∞ (1/2)ⁿ · 2ⁿ = ∑_n=1^∞ 1,

وهذا المجموع يتباعد نحو اللانهاية.

المبدأ المعياري المتضمَّن

يذهب مبدأ كلاسيكي شائع في الاختيار العقلاني، وبخاصة قبل نظرية المنفعة المتوقعة، إلى أن:

" ينبغي للفاعل العقلاني أن يكون مستعدًا لدفع ما يصل إلى القيمة النقدية المتوقعة للمقامرة مقابل تذكرة عادلة.

وبتطبيق ذلك هنا، يقترح هذا أنه ينبغي للفاعل العقلاني، من حيث المبدأ، أن يقبل أي رسم دخول محدود لمرة واحدة من لعب لعبة سانت بطرسبرغ، لأن القيمة النقدية المتوقعة لا نهائية.

التوتر

تنشأ المفارقة من التباين بين:

شكليًّا، يُحصل على الشرطية الآتية:

إذا كان ينبغي للفاعلين العقلانيين تعظيم القيمة النقدية المتوقعة،

وإذا كانت لعبة سانت بطرسبرغ ذات قيمة نقدية متوقعة لا نهائية،

فإن الفاعلين العقلانيين ينبغي أن يكونوا مستعدين لدفع مجاميع محدودة كبيرة بلا حدود للعب.

غير أن هذا الاستلزام يتعارض مع الأحكام المعتادة حول ما يُعدّ معقولًا دفعه، فينتج الموقف المفارِق الذي يُستكشف ويُفسَّر في الأقسام اللاحقة.

6. البنية المنطقية وصيغة الحجة

يُفهم عمومًا أن مفارقة سانت بطرسبرغ هي برهان الاختزال إلى المحال (reductio ad absurdum) موجَّه إلى قاعدة قرار محددة، هي تعظيم القيمة النقدية المتوقعة (EMV). وتُبرز بنيتها المنطقية كيف أن التطبيق غير المقيَّد لتلك القاعدة على لعبة سانت بطرسبرغ يُنتج نتيجةً تبدو غير مقبولة.

نمط الحجة الأساسي

يمكن إعادة بناء الحجة تخطيطيًا على النحو الآتي:

إعداد اللعبة: تُعرَّف لعبة سانت بطرسبرغ بحيث يكون العائد في الرمية رقم n هو 2ⁿ باحتمال (1/2)ⁿ.

خطوة الحساب: باستخدام صيغة التوقع المعيارية، تكون القيمة النقدية المتوقعة هي المتسلسلة ∑_n=1^∞ (1/2)ⁿ · 2ⁿ، وهي متباعدة نحو ما لا نهاية.

المقدمة المعيارية: ينبغي أن يكون الفاعل العقلاني مستعدًا لدفع ما يصل إلى القيمة النقدية المتوقعة للمقامرة مقابل لعبة واحدة من تلك المقامرة.

الاستنتاج: وعليه، ينبغي للفاعل العقلاني أن يكون راغبًا في دفع أي مبلغ محدود للعب لعبة سانت بطرسبرغ مرة واحدة.

التعارض مع الحدس أو السلوك: في الواقع، يعدّ الفاعلون المتأملون عادةً دفعَ مبالغ كبيرة جدًا غيرَ عقلاني؛ وتُظهر الدراسات التجريبية أن الناس يُعلنون استعدادًا للدفع لا يتجاوز مبالغ متواضعة.

الاستنتاج المفارِق: يجب مراجعة المقدمة واحدة على الأقل من المقدمات (2–4) أو تقييدها.

الطابع الاختزالي

يتسق هذا الاستدلال مع نمط برهان الاختزال إلى المحال:

نفترض مبدأ تعظيم القيمة النقدية المتوقعة غير المقيَّد.

نجمعه مع استدلال احتمالي مباشر حول اللعبة.

نستنتج أن العقلانية تقتضي استعدادًا للدفع مرتفعًا بلا حدود.

نعدّ ذلك محالًا أو على الأقل بعيد الاحتمال إلى حد كبير.

نخلص إلى أن المبدأ الابتدائي (أو بعض الافتراض الخلفي) يجب رفضه أو تعديله.

يضع المؤلفون المختلفون «الخلل» في مواضع مختلفة: فبعضهم يتحدى مبدأ القيمة النقدية المتوقعة ذاته، وآخرون يشككون في طريقة نمذجة اللعبة، وآخرون ما زالوا يجادلون في أن النتيجة غير عقلانية حقًا. لكن بنية المفارقة تُصاغ عمومًا على النحو الآتي: من افتراضات معقولة يُشتق مطلب غير معقول، ومن ثمّ ينبغي إعادة النظر في جزء ما من المنظومة.

7. القيمة النقدية المتوقعة والتوقعات اللانهائية

تضع مفارقة سانت بطرسبرغ مفهوم القيمة النقدية المتوقعة (EMV) موضع التدقيق من خلال الاستفادة من حالة ذات توقع لانهائي. يركز هذا القسم على المسائل الرياضية والمفاهيمية المحيطة بمثل هذه التوقعات.

حساب القيمة النقدية المتوقعة الكلاسيكية

في نظرية الاحتمالات الكلاسيكية، تُعطى القيمة النقدية المتوقعة لمقامرة منفصلة ذات نواتج xᵢ واحتمالات pᵢ بالعلاقة:

E[X] = ∑_i p_i x_i.

بالنسبة إلى اليانصيب النموذجي ذي المكافآت المحدودة، يتقارب هذا المجموع إلى عدد منتهٍ يمكن تفسيره بوصفه «سعرًا عادلًا» في ظل شروط مثالية معينة (مثل الحياد تجاه المخاطرة والمنفعة الخطية للمال).

أما في لعبة سانت بطرسبرغ، فإن القيمة النقدية المتوقعة هي:

E[X] = ∑_n=1^∞ (1/2)ⁿ 2ⁿ = ∑_n=1^∞ 1 = ∞.

وهذا مثال على توقع لانهائي: إذ لا تتقارب المتسلسلة إلى عدد حقيقي منتهٍ.

الوضع المفاهيمي للتوقعات اللانهائية

تثير التوقعات اللانهائية أسئلة حول كيفية تفسير القيمة النقدية المتوقعة:

تعامل بعض القراءات القيمة النقدية المتوقعة بوصفها سعرًا عادلًا، غير أن «السعر العادل اللانهائي» لا يمكن تنفيذه عمليًا، إذ لا يستطيع الفاعل أن يدفع أكثر من أي مبلغ منتهٍ معين.

ويرى آخرون أن القيمة النقدية المتوقعة متوسط المكسب لكل مرة لعب على المدى الطويل، إلا أنه في حالة التوقع اللانهائي تصبح تفسيرات قانون الأعداد الكبيرة المعتادة دقيقة وحساسة، ويصبح المعنى العملي لـ«المتوسط» أقل وضوحًا.

واستجابةً لذلك، ميّز المعلقون بين:

تُعد المفارقة بذلك حالة اختبار لمعرفة ما إذا كانت القيمة النقدية المتوقعة يمكن أن تصلح معيارًا عامًا للقرار، لا سيما في وجود يانصيبات ذات مكافآت غير محدودة أو ذات ذيول ثقيلة. وقد ظهرت تطورات لاحقة، مثل نظرية المنفعة المتوقعة، جزئيًا لتنقيح القيمة النقدية المتوقعة أو استبدالها بوصفها المقياس المعياري الأساسي في مثل هذه السياقات.

8. حل برنولي القائم على المنفعة

قدّم تحليل دانيال برنولي عام 1738 طريقةً أصبحت اليوم معيارية لمعالجة هذه المفارقة، وذلك بالانتقال من القيمة النقدية المتوقعة إلى المنفعة المتوقعة. وكانت فكرته الأساسية أن القيمة الذاتية للمال، أي منفعته، لا تتزايد تزايدًا خطيًا مع مقداره.

المنفعة اللوغاريتمية للثروة

اقترح برنولي أن منفعة الثروة w يمكن تمثيلها بدالة لوغاريتمية، U(w) = ln(w). ويعبّر ذلك عن فكرة أن مكسبًا قدره 100 دوقية يكون أهم لفقير منه لغني، بما يعكس تناقص المنفعة الحدية.

وبعبارته هو:

" “المنفعة الناتجة عن أي زيادة صغيرة في الثروة تكون متناسبة عكسيًا مع كمية السلع التي كانت مملوكة من قبل.” — دانيال برنولي، Specimen theoriae novae de mensura sortis

وبتطبيق ذلك على يانصيب سانت بطرسبرغ، تكون المنفعة المتوقعة من اللعب (بدءًا من ثروة w₀ ودفع تكلفة c) هي:

E[U] = ∑_n=1^∞ (1/2)ⁿ ln(w₀ - c + 2ⁿ).

يتقارب هذا المجموع عند قيم معقولة لـ w₀ وc، فيعطي منفعة متوقعة محدودة.

الاستعداد العقلاني المحدود للدفع

تُحدَّد رسوم الدخول العقلانية c* وفق رأي برنولي بحل المعادلة:

E[U(w₀ - c^* + X)] = U(w₀),

أي الرسوم التي تتساوى عندها المنفعة المتوقعة من اللعب مع منفعة عدم اللعب. ومع U(w) = ln(w)، أنتجت حسابات برنولي قيمة محدودة لـ c*، تتسق مع الاستعداد المتواضع لدى الناس للدفع.

وهكذا، في هذا النهج:

الكمية

القيمة النقدية المتوقعة (EMV)

المنفعة المتوقعة (لوغاريتمية)

يانصيب سانت بطرسبرغ

∞

محدودة

رسم الدخول «العقلاني» المستنتج

غير محدود

محدود (يعتمد على w₀)

التحول المفاهيمي

قدّم مقترح برنولي تحولين مهمين:

من المال إلى المنفعة: يتعلق الاختيار العقلاني بتعظيم المنفعة المتوقعة، لا بتعظيم المال.

من التقييم الخطي إلى التقييم المقعّر: المنفعة مقعرة في الثروة، وهو ما يجسد النفور من المخاطرة.

ويرى المؤيدون أنه بمجرد قبول هذين التحولين تنحل مفارقة سانت بطرسبرغ، إذ إن التعارض الظاهر نشأ عن افتراض غير كافٍ بشأن قيمة المال، لا عن خلل في استخدام التوقعات في ذاتها. وتناقش الأقسام اللاحقة تعميم هذه الفكرة والانتقادات الموجهة إليها، ومنها الادعاءات بأن التقعر وحده لا يكفي لمعالجة كل الإنشاءات الشبيهة بسانت بطرسبرغ.

9. التقعر، ونفور المخاطرة، وتناقص المنفعة الحدية

ظلّت مفارقة سانت بطرسبرغ مثالاً محورياً لتوضيح كيفية تفاعل دوال المنفعة المقعّرة ونفور المخاطرة وتناقص المنفعة الحدية في نظرية القرار.

التقعر وتناقص المنفعة الحدية

تكون دالة المنفعة U(w) مقعّرة إذا تحقق، لأي مستويات ثروة w₁ وw₂ ولأي λ ∈ [0, 1]:

U(λw₁ + (1-λ) w₂) ≥ λU(w₁) + (1-λ) U(w₂).

يُرمّز التقعر رياضياً إلى تناقص المنفعة الحدية للثروة: إذ تزيد كل وحدة إضافية من الثروة المنفعة بمقدار أقل من الوحدة السابقة لها. ويُعدّ الاقتصاد اللوغاريتمي، كما اقترحه دانيال برنولي، مثالاً قياسياً على ذلك.

وفي المصطلحات الاقتصادية:

زيادة الثروة

الزيادة في المنفعة (U مقعّرة)

من أساس منخفض

كبيرة

من أساس مرتفع

أصغر

يساعد هذا النمط على تفسير سبب عدم قدرة المكاسب الكبيرة جداً وغير المحتملة على زيادة المنفعة المتوقعة بشكل ملحوظ.

نفور المخاطرة وتقييم اليانصيب

في نظرية المنفعة المتوقعة الحديثة، يتسم نفور المخاطرة بكون U مقعّرة. فالفاعل النافر من المخاطرة يفضّل المكافئ اليقيني لليانصيب، أي مبلغاً مضموناً، على اليانصيب نفسه عندما يكون للاثنين القيمة النقدية المتوقعة ذاتها.

وفي سياق مفارقة سانت بطرسبرغ، يقتضي التقعر أن:

ينمو الكسب المنفعي من المكافآت الكبيرة جداً (مثل 2¹⁰ و2²⁰ و…) ببطء.

يتناقص احتمال تلك المكافآت بسرعة.

يمكن أن يُجمع ناتج الاحتمال والزيادة في المنفعة إلى عدد منتهٍ، حتى عندما تكون التوقعات النقدية لانهائية.

وبذلك توضح المفارقة أن القيمة النقدية المتوقعة اللانهائية لا تعني بالضرورة منفعة متوقعة لانهائية للفاعلين النافرين من المخاطرة.

الأدوار التفسيرية

يُسند المؤلفون المختلفون أدواراً تفسيرية متباينة إلى هذه المفاهيم:

يعامل بعضهم تناقص المنفعة الحدية بوصفه انتظاماً نفسياً أو اقتصادياً في تفضيلات البشر.

بينما يرى آخرون أن التقعر خاصية شكلية في نظرية بديهية للاختيار العقلاني بالدرجة الأولى.

ويمكن النظر إلى نفور المخاطرة إما بوصفه ميلاً وصفياً، أو، وهذا أكثر إثارة للجدل، بوصفه موقفاً معيارياً.

وفي جميع الأحوال، تمثل لعبة سانت بطرسبرغ مثالاً واضحاً يقيّد فيه التقعر ونفور المخاطرة معاً أثر النتائج النادرة والمتطرفة، فيعيدان بذلك تشكيل طريقة تقييم التوقعات دون إنكار حساب الاحتمالات الأساسي.

10. الاعتراضات وألعاب سانت بطرسبرغ المعززة

بينما يحل النهج القائم على المنفعة عند برنولي اليانصيب الأصلي في ظل منفعة لوغاريتمية (أو مقعرة عموماً)، يرى مؤلفون لاحقون أن هذا الحل غير كامل. ويقترحون ألعاب سانت بطرسبرغ المعززة، المصممة لإنتاج مفارقات حتى في ظل دوال منفعة مقعرة وغير محدودة.

نقد مينغر

في عام 1934، جادل كارل مينغر بأن حل برنولي يفشل بوجه عام، لأنه يمكن بناء متغيرات للّعبة يظل فيها العائد المتوقع للمنفعة لانهائياً على الرغم من التقعر. وكانت استراتيجية مينغر اختيار مدفوعات تنمو أسرع مما يستطيع أن «يروّضه» اللوغاريتم في دالة منفعة برنولي.

على سبيل المثال، مع دالة منفعة U(w) غير محدودة من أعلى (حتى لو كانت مقعرة)، يمكن تعريف مدفوعات aₙ بحيث:

∑_n=1^∞ P(n) · U(w₀ - c + a_n) = ∞.

يفضي ذلك إلى ألعاب سانت بطرسبرغ المعززة، حيث:

تظل الاحتمالات غالباً هندسية (مثلاً (1/2)ⁿ)،

لكن المدفوعات تتزايد بسرعة أكبر مما في اللعبة الأصلية.

بنية الألعاب المعززة

في الصيغ المعززة، يُعدَّل التطابق بين رقم الرمية n والمدفوعة بحيث، بالنسبة إلى U مقعرة معطاة:

U(a_n) ≈ k · 2ⁿ أو أسرع,

من أجل k > 0 ما. عندئذ:

E[U] ≈ ∑_n=1^∞ (1/2)ⁿ · k 2ⁿ = ∞.

وهكذا، حتى حين يقيّم الفاعلون النتائج بمنفعة مقعرة، يتباعد العائد المتوقع للمنفعة لمثل هذه اللعبة، فيُعاد إنتاج التوتر المفارق بين التوقع اللانهائي والاستعداد المحدود بديهياً للدفع.

الردود على المفارقات المعززة

تتنوع ردود الفعل تجاه إنشاءات مينغر:

وهكذا تخدم ألعاب سانت بطرسبرغ المعززة لاختبار ما إذا كان التقعر وحده كافياً لمعالجة كل مفارقات هذا النوع، أم أن هناك حاجة إلى قيود إضافية على التفضيلات أو المنافع أو المقامرات.

11. المنفعة المحدودة وقواعد القرار البديلة

استجابةً لمفارقات من نوع سانت بطرسبرغ المعززة، اقترح بعض المنظّرين أن تُمثَّل التفضيلات العقلانية بدوال منفعة محدودة، بينما يدعو آخرون إلى قواعد قرار بديلة للحالات التي تنطوي على توقعات لا نهائية أو غير معرَّفة.

فرضية المنفعة المحدودة

تنص فرضية المنفعة المحدودة على وجود حدّ أعلى منتهٍ Umax بحيث يكون، لجميع مستويات الثروة w، أن U(w) ≤ Umax. وتحت هذا الافتراض، لا يمكن لأي مقامرة أن تملك منفعة متوقعة لا نهائية، لأن:

E[U] ≤ U_max ∑_n P(n) = U_max,

وذلك لأي توزيع احتمالي {P(n)}. ويجادل المؤيدون بأن هذا يمنع كلاً من المفارقة الأصلية والمفارقات المعززة.

ويثير النقّاد عدة اعتراضات:

قد تبدو المحدودية غير معقولة نفسيًا أو سلوكيًا في حالات الرهانات الكبيرة جدًا.

إنها تقيّد فضاء ترتيبات التفضيل المقبولة بطرق يراها البعض تعسفية.

قد تتعارض مع مطالب بديهية أخرى في نظرية القرار.

قواعد القرار المعدّلة أو التكميلية

تتمثل استراتيجية بديلة في تعديل معايير الاختيار العقلاني دون تقييد المنفعة. وتشمل المقترحات:

المعايير المعجمية أو متعددة المراحل: فعلى سبيل المثال، يُتجنَّب أولًا الخسارة المؤكدة، ثم تُعظَّم المنفعة المتوقعة، ولا يُنظر بعد ذلك في الذيول ذات الاحتمال المنخفض للغاية والعائد المرتفع إلا إذا استوفت معايير إضافية.

قواعد القطع أو عدم الحساسية للذيول: تجاهل النتائج التي تتجاوز عتبة احتمالية منخفضة معينة أو خصمها بشدة، عندما تجعل التوقعات لا نهائية أو غير مستقرة.

المقاربات القائمة على الهيمنة: تقديم الخيارات التي تهيمن على غيرها عبر نطاق واسع من الحالات الواقعية، حتى عندما تكون التوقعات لا نهائية.

تحافظ هذه المقاربات غالبًا على تعظيم المنفعة المتوقعة القياسي للحالات العادية المحدودة، بينما تقيّده أو تكمّله صراحةً حيثما تنشأ توقعات لا نهائية.

نظرة مقارنة عامة

النهج

الآلية

الأثر في مفارقات من نوع سانت بطرسبرغ

المنفعة المحدودة

تقييد U(w) ≤ Umax

يستبعد المنفعة المتوقعة اللانهائية؛ إذ تملك جميع المقامرات منفعة متوقعة منتهية

دالة U مقعّرة وغير محدودة

تناقص المنفعة الحدية

يحلّ بعض الألعاب المعززة لا كلها

قواعد القرار المعدِّلة للذيول

تقييد تأثير الحالات الشاذة النادرة

قد تترك المنفعة المتوقعة غير محدودة، لكنها تغيّر توصيات الاختيار

ينطوي الاختيار بين هذه الاستراتيجيات على مفاضلات بين العمومية الرياضية والواقعية السلوكية والجاذبية المعيارية، ويظل موضوعًا لنقاش متواصل.

12. المنظورات السلوكية والنفسية

بعيدًا عن نظرية المنفعة الصورية، فُسِّرت مفارقة سان بطرسبرغ من خلال عدسة الاقتصاد السلوكي وعلم النفس، مع التركيز على كيفية إدراك الأفراد الحقيقيين للاحتمالات والنتائج والمخاطر.

ترجيح الاحتمالات ونظرية الاحتمالات المتوقعة

طوّر دانيال كانيمان (Daniel Kahneman) وعاموس تفيرسكي (Amos Tversky) نظرية الاحتمالات المتوقعة (Prospect Theory)، التي تقترح أن الناس يحوّلون الاحتمالات الموضوعية عبر دالة لترجيح الاحتمالات: قد يُرجَّح الاحتمالات الصغيرة جدًا بالزيادة أو بالنقصان مقارنةً بقيمها الفعلية.

بالنسبة إلى ألعاب على نمط سان بطرسبرغ:

تشير بعض النماذج إلى أن الاحتمالات المنخفضة للغاية (مثل احتمال الحصول على مكافآت عالية جدًا) تُهمَل فعليًا أو يُخفَّض وزنها بشدة.

في ظل هذا الترجيح، يسهم «ذيل» التوزيع إسهامًا ضئيلًا في القيمة الذاتية، فينتج وزنٌ قراري منتهٍ رغم أن القيمة المتوقعة النقدية لا نهائية.

ضمن نظرية الاحتمالات المتوقعة التراكمية، يعتمد تقييم اليانصيب على كلٍّ من دالة القيمة (التي تكون غالبًا مقعرة بالنسبة للمكاسب) ودالة الترجيح، وهما معًا تنتجان تقييمًا إجماليًا منتهيًا يتوافق مع محدودية الاستعداد للدفع.

الاستدلالات الذهنية والقيود المعرفية

يؤكد الباحثون السلوكيون أن الأفراد كثيرًا ما يستخدمون الاستدلالات الذهنية (Heuristics) بدلًا من حسابات القيمة المتوقعة الكاملة:

إهمال النطاق: قد يكون الناس غير حساسين لضخامة المكافآت الكبيرة جدًا في ذاتها.

النماذج الذهنية: قد يركز الاستدلال الحدسي حول رمي العملة على التسلسلات القصيرة والنتائج المعتادة، مع التقليل من شأن الاحتمالات البعيدة.

النفور من التعقيد: قد تُبسَّط البنية اللانهائية للّعبة ذهنيًا إلى عدد صغير من النتائج البارزة.

من هذا المنظور، تُبيّن المفارقة الفجوة بين الاستدلال المثالي رياضيًا وطريقة عمل الإدراك البشري فعليًا في ظل عدم اليقين.

المواقف تجاه الغموض وعروض «الجيدة أكثر من اللازم لتكون صحيحة»

يلاحظ بعض علماء النفس أن عرضًا من نوع سان بطرسبرغ قد يثير عدم الثقة أو النفور من الغموض:

قد يشك الأفراد في إمكانية تحقيق مدفوعات كبيرة بلا حدود (حتى وإن أُخبروا بخلاف ذلك).

قد يشتبهون في وجود شروط خفية أو في احتمال تخلّف الطرف المقابل عن السداد، فيقتطعون اليانصيب فعليًا في أذهانهم.

تؤدي هذه المواقف إلى سلوك يشبه ما تتنبأ به قيود الموارد المحدودة، دون نمذجة تلك القيود صراحةً في صيغ رسمية.

بوجه عام، تميل المنظورات السلوكية والنفسية إلى عدم اعتبار المفارقة تحديًا لنظرية الاحتمالات ذاتها، بل حالةً كاشفة عن كيفية تعامل الفاعلين البشريين مع المخاطر المتطرفة والأحداث النادرة والبنى الرياضية المجردة عند اتخاذ قرارات حقيقية.

13. التطبيقات في الاقتصاد وتحليل المخاطر

على الرغم من أن قرعة سانت بطرسبرغ مثالية إلى حد كبير، فقد أثرت المفارقة في تطبيقات ملموسة في الاقتصاد وتحليل المخاطر، لا سيما في السياقات التي تنطوي على نتائج نادرة لكنها شديدة التطرف.

التأمين وتقاسم المخاطر

في نظرية التأمين، عززت المفارقة تاريخياً فكرة أن الأفراد قد يدفعون بعقلانية قسطاً يتجاوز الخسارة المتوقعة، وذلك بسبب النفور من المخاطرة وتناقص المنفعة الحدية. وتوضح حالة سانت بطرسبرغ كيف:

قد تُشوّه الخسائر أو المكاسب الكبيرة جداً وغير المحتملة القيمة النقدية المتوقعة.

توفر المنفعة المقعّرة إطاراً تكون فيه الاستفادة من التأمين (أو تنويع المخاطر) عقلانية حتى عندما يبدو التوقع الاكتواري غير مواتٍ.

أفضى هذا الإدراك إلى نماذج للتغطية التأمينية المثلى، والتأمين المشترك، وإعادة التأمين، حيث يوازن الأفراد بين تكاليف صغيرة ومؤكدة وأحداث ذات احتمال منخفض وأثر كبير.

الاستثمار واختيار المحفظة

في المالية، استُشهد بالمفارقة في النقاشات حول:

المقامرات ذات العوائد ذات الذيول السميكة (مثل بعض الاستراتيجيات المضاربية).

معايير من نوع كيلي ونماذج المنفعة اللوغاريتمية للمراهنة أو الرفع المالي الأمثل.

يستخدم بعض المحللين أمثلة شبيهة بقرعة سانت بطرسبرغ لتوضيح كيف يمكن أن يكون التركيز على العوائد المتوقعة وحدها مضللاً عندما تكون النتائج مائلة بشدة ويهيمن عليها مكاسب نادرة وضخمة. وتصبح المنفعة المتوقعة ومقاييس المخاطر (التباين، والقيمة المعرضة للمخاطر، وغيرها) محورية في تقييم مثل هذه الاستراتيجيات.

المخاطر الكارثية وتنظيم المخاطر

في تحليل المخاطر والسياسات، تظهر نظائر للمفارقة في النقاشات حول:

المخاطر البيئية أو التكنولوجية الكارثية ذات الاحتمالات المنخفضة جداً والأضرار المحتملة الهائلة.

الجدل حول مقدار ما ينبغي للمجتمع أن يستثمره في الوقاية أو التخفيف.

هنا، يسلط التفكير على نمط سانت بطرسبرغ الضوء على التوترات بين:

تبعاً لذلك، تعمل المفارقة كتجربة فكرية لاختبار مبادئ إدارة المخاطر في المجالات التي تلعب فيها الأحداث الذيلية دوراً مهماً.

الاستخدام التعليمي في الحقول التطبيقية

في تدريس الاقتصاد والمالية وهندسة المخاطر، تُستخدم مفارقة سانت بطرسبرغ غالباً من أجل:

الانتقال من القيمة النقدية المتوقعة إلى المنفعة المتوقعة.

توضيح مواقف المخاطرة وحدود التقييم الخطي.

إثارة النقاش حول صلاحية النموذج عندما تكون هناك قيود واقعية (ثروة محدودة، وحدود قانونية، ومصداقية مؤسسية).

وبذلك يكون أثرها العملي الأساسي غير مباشر: إذ تشكّل طريقة تفكير المنظّرين والممارسين في تقييم الاحتمالات غير المؤكدة، ولا سيما تلك التي تنطوي على نتائج شديدة التطرف لكنها غير محتملة.

14. الأثر في نظرية القرار الحديثة

كان لبارادوكس سانت بطرسبرغ تأثير دائم في تطور نظرية القرار الحديثة، إذ أسهم في تشكيل أسسها البديهية ومعالجتها للمخاطرة.

حافز نظرية المنفعة المتوقعة

تمهّد انتقال برنولي من المال المتوقع إلى المنفعة المتوقعة لاحقاً لصياغات فون نيومان ومورغنشتيرن وسافج الرسمية. ويُستشهد بالبارادوكس كثيراً بوصفه مثالاً محفزاً على:

تمثيل التفضيلات بدالة منفعة بدلاً من العوائد الخام.

السماح بأن تكون المنفعة مقعّرة، بما يلتقط النفور من المخاطرة.

تفسير الاختيار العقلاني بوصفه تعظيماً للمنفعة المتوقعة (EU).

على الرغم من أن الصياغات البديهية الحديثة لا تعتمد على لعبة سانت بطرسبرغ تحديداً، فإنها ترث الفكرة القائلة إن القيمة النقدية المتوقعة (EMV) غير كافية بوصفها قاعدة قرار عامة.

المنافع اللانهائية والقيود البديهية

أثّر البارادوكس وصوره المعززة في النقاشات حول قبول دوال المنفعة غير المحدودة ضمن نظرية المنفعة المتوقعة. ويرى بعض المنظّرين أن:

يؤدي السماح بالمنفعة غير المحدودة إلى بارادوكسات التوقع اللانهائي.

يضمن فرض الحدّية أو قيود أخرى نظريات أكثر متانة (مثل وجود أفعال مثلى في أطر معينة).

ويرى آخرون أن مثل هذه القيود قد تكون صارمة أكثر من اللازم أو مصطنعة. وعليه تعمل عائلة حالات سانت بطرسبرغ بوصفها اختباراً لمدى إمكان توسيع الأنظمة البديهية مع الحفاظ على معقوليتها الحدسية.

أطر القرار البديلة

أسهم البارادوكس أيضاً في تطوير:

نظريات غير المنفعة المتوقعة (مثل المنفعة المرتبة حسب الرتبة، ونظرية الاحتمال التراكمي) التي تعدّل طريقة الجمع بين الاحتمالات والنتائج.

نماذج الاختيار المعجمي ومتعدد المعايير التي تعامل بعض الاعتبارات (مثل تجنب الخراب الكامل) بوصفها متفوقة على غيرها.

مناهج الاحتمال غير الدقيق والقرار المتين التي تتردد في تحديد توقعات دقيقة في وجود أذيال متطرفة.

وتُستخدم في كثير من هذه الأطر لعبة سانت بطرسبرغ وما شابهها من اليانصيب على سبيل الإيضاح، لإظهار المواضع التي يفضي فيها استدلال المنفعة المتوقعة الكلاسيكي إلى توصيات غير معقولة.

الدور التعليمي والمفاهيمي

ضمن نظرية القرار المعاصرة، يُنظر إلى البارادوكس عادةً بوصفه مشكلة تعليمية أكثر منه مشكلة بحثية نشطة. ويُستخدم من أجل:

يبرز التحديات التقنية والمفاهيمية

ومع ذلك، ما زالت المناقشات حول التوقعات اللانهائية والمنافع غير المحدودة والمخاطر المتطرفة تستند إلى النموذج المفاهيمي الذي وضعته حالة سانت بطرسبرغ.

15. مقارنات مع متناقضات ذات صلة بالقيمة اللانهائية

تنتمي متناقضة سانت بطرسبرغ إلى عائلة أوسع من الألغاز التي تتضمن توقعات لانهائية أو قيماً لانهائية. ويساعد مقارنتها بمتناقضات ذات صلة على توضيح ما يميز بنيتها، وما يشترك فيه هذا النوع من الحالات.

رهان باسكال

يجادل رهان باسكال بأنه، بالنظر إلى احتمال غير صفري لمكافأة لانهائية (الخلاص الأبدي)، فإن المنفعة المتوقعة للإيمان بالله لانهائية، مما يجعل الإيمان عقلانياً على أسس تتعلق بالحذر العملي بحسب ما يُزعم.

المقارنة:

• الخاصية: متناقضة سانت بطرسبرغ
• رهان باسكال: الاعتقاد الديني والحياة الآخرة
• مصدر اللانهاية: مجموع متباعد لمكافآت منتهية
• نتيجة مفردة ذات منفعة لانهائية: التوتر الجوهري

القيمة المتوقعة النقدية اللانهائية مقابل الاستعداد للدفع المنتهي

المنفعة المتوقعة اللانهائية مقابل الجواز الحدسي للإنكار

يثير الاثنان تساؤلات حول كيفية استجابة الفاعلين للتوقعات اللانهائية، وحول ما إذا كانت قواعد القرار المعيارية تمتد بسهولة إلى مثل هذه الحالات.

ألعاب باسادينا وألتادينا

في فلسفة الاحتمال المعاصرة، تتضمن ألعاب من نوع باسادينا (التي قدّمها نوفر وهاجيك) متتاليات تكون قيمها المتوقعة متقاربة شرطياً أو غير معرفة، لا لانهائية بشكل مباشر. وهي تتحدى الافتراض القائل بأن لكل يانصيب محدد جيداً توقعاً محدداً.

مقارنة بسانت بطرسبرغ:

القيمة المتوقعة النقدية لسانت بطرسبرغ تتباعد بوضوح نحو اللانهاية.

ألعاب من نوع باسادينا تجعل القيمة المتوقعة النقدية أو المنفعة المتوقعة غير معرفة، أو حساسة لترتيب الجمع.

يوضح الاثنان حدود مبادئ تعظيم التوقع البسيطة.

المتناقضات طويلة الأمد مقابل المتناقضات أحادية المحاولة

تتعلق بعض متناقضات القيمة اللانهائية بمتتاليات طويلة الأمد أو باللعب المتكرر (مثل الاستراتيجيات في مسائل ماركوف لاتخاذ القرار ذات الأفق اللانهائي في حالات معينة)، في حين تُصاغ لعبة سانت بطرسبرغ بوصفها قراراً أحادي المحاولة. ويؤثر هذا الفرق في كيفية انطباق الاستشهاد بقانون الأعداد الكبيرة أو بالمتوسطات الزمنية للمكافآت، أو عدم انطباقه.

الموضوعات المشتركة

عبر هذه المتناقضات ذات الصلة، تشمل الموضوعات المشتركة ما يلي:

كفاية التوقع بوصفه معياراً وحيداً للقرار.

دور شروط التحديد والانتظام المفروضة على المنافع والمكافآت.

التعامل مع النتائج النادرة والمتطرفة والرهانات اللانهائية.

تُعد متناقضة سانت بطرسبرغ من أبسط الأطر الرياضية التي يمكن من خلالها استكشاف هذه المسائل، مما يجعلها نقطة مرجعية طبيعية لتحليل ألغاز القيمة اللانهائية الأكثر تعقيداً.

16. الإرث والأهمية التاريخية

ترك متناقضة سانت بطرسبرغ إرثًا كبيرًا عبر عدة تخصصات، إذ شكّلت التطورات التقنية والنقاشات المفاهيمية على حد سواء.

التأثير في الاقتصاد ونظرية المنفعة

ترتبط المتناقضة تاريخيًا ارتباطًا وثيقًا بظهور نظرية المنفعة في الاقتصاد. قدّم استجابة دانيال برنولي التي أدخلت:

التمييز بين العوائد الموضوعية والمنفعة الذاتية.

فكرة تناقص المنفعة الحدية للثروة.

مفهوم أن الاختيار العقلاني ينبغي أن يعظّم المنفعة المتوقعة، لا المال المتوقع.

وقد تبنّى الاقتصاديون ومنظّرو نظرية الألعاب هذه الأفكار لاحقًا وصاغوها صياغة رسمية، فأصبحت أساسًا في الاقتصاد الجزئي والتمويل.

الدور في الاحتمال والفلسفة

بالنسبة إلى نظرية الاحتمال وفلسفة الاحتمال، شغلت المتناقضة دور:

مثال كلاسيكي على كيف تُحدث التوقعات اللانهائية تحديًا للتفسيرات الساذجة للتوقع بوصفه دليلًا عامًا إلى التسعير العادل.

دراسة حالة للعلاقة بين الصورية الرياضية ومعايير القرار العقلاني.

حافز للنقاشات حول تفسير الاحتمال (التكراري، والبayesي، وغيرهما) في السياقات التي تنطوي على عوائد شديدة التطرف.

وقد استخدمها الفلاسفة لاختبار اتساق أطر نظرية القرار المختلفة، ولمقارنتها بالمقاربات البديلة في فلسفة الأخلاق ونظرية المعرفة.

الأهمية التعليمية المستمرة

في التدريس المعاصر، تظل المتناقضة مثالًا أساسيًا في مقررات:

نظرية القرار والاختيار العقلاني

نظرية الاقتصاد الجزئي والمخاطرة

الاحتمال والإحصاء

وتُقدَّر لبساطتها وقدرتها على إبراز مسائل تتعلق بمواقف المخاطرة، ومنحنيات المنفعة، وحدود القيمة النقدية المتوقعة (EMV) بالحد الأدنى من الأدوات التقنية.

الأثر الثقافي والفكري الأوسع

إلى ما وراء الدوائر التقنية، استُشهد بمتناقضة سانت بطرسبرغ من حين إلى آخر في نقاشات تتعلق بـ:

عقلانية المشاركة في اليانصيب والاستثمارات المضاربية.

المواقف تجاه الأحداث منخفضة الاحتمال وعالية الأثر في السياسات العامة.

التوتر بين النماذج الصورية والأحكام القائمة على الفطرة السليمة.

وبوجه عام، لا تكمن أهميتها التاريخية في أي تطبيق عملي مباشر لليانصيب نفسه في سانت بطرسبرغ، بل في التأثير العميق الذي مارسته على طريقة تصور المنظّرين للقيمة والمخاطرة والاختيار العقلاني في ظل عدم اليقين.