متناقضة بيري

1. نظرة عامة وصياغة

تُعدّ مفارقة بيري مفارقة دلالية ذاتية الإشارة تنطوي على أوصاف تبدو محددة جيدًا للأعداد الطبيعية، لكنها تكون في نهاية المطاف إشكالية. ومن الصيغ المعيارية لها العبارة «أصغر عدد صحيح موجب لا يمكن تسميته بأقل من تسعة عشر كلمة إنجليزية». يبدو هذا التعبير وصفًا محددًا يُشير إلى عدد صحيح فريد. ومع ذلك، فإذا نجح بالفعل في تسمية مثل هذا العدد، فإنه يناقض مضمونه نفسه: إذ يسمّي عددًا بينما يؤكد أنه لا توجد عبارة بهذا الطول يمكنها تسميته.

تنشأ المفارقة من الجمع بين:

• حدٍّ منتهٍ لطول التعبير (على سبيل المثال، «أقل من تسع عشرة كلمة»)،
• فكرة الأعداد «القابلة للتسمية» أو «القابلة للتعريف» في لغة طبيعية مثل الإنجليزية،
• والإشارة الذاتية: الحديث عمّا يمكن تسميته «بأقل من N كلمة» باستخدام عبارة تحترم هذا الحد بنفسها.

بحجة عدّ بسيطة، توجد عبارات إنجليزية منتهية فقط تقل عن N كلمة، ولذلك لا يمكن تسمية أكثر من هذا العدد من الأعداد باستخدام مثل هذه العبارات. وبما أن الأعداد الصحيحة الموجبة لا نهائية، فلا بد أن توجد أعداد لا يمكن تسميتها بأقل من N كلمة. ومن بينها يوجد أصغر عدد صحيح من هذا النوع. لكن العبارة «أصغر عدد صحيح موجب لا يمكن تسميته بأقل من N كلمة» تبدو وكأنها تسمّي ذلك العدد «غير القابل للتسمية» بعينه، فتولّد المفارقة.

2. الخلفية التاريخية

سُمّيت هذه المفارقة نسبةً إلى أمين المكتبة والرياضياتي الهاوي الإنجليزي ج. ج. بيري (G. G. Berry). وبحسب برتراند راسل، ناقش بيري في المراسلات والمحادثات أمثلةً لأعداد تُعرَّف بأوصاف إنجليزية معقدة. وقد قدّم راسل المفارقة وعمّمها في ورقته البحثية الصادرة عام 1908 بعنوان «المنطق الرياضي القائم على نظرية الأنماط» (Mathematical Logic as Based on the Theory of Types)، وفي كتاباته اللاحقة.

تنتمي مفارقة بيري إلى فئة من الألغاز المنطقية والدلالية التي ظهرت في أوائل القرن العشرين، إلى جانب:

• مفارقة ريتشارد، المتعلقة بقابلية الأعداد الحقيقية للتعريف في اللغة،
• ومفارقة راسل، المتعلقة بالمجموعات التي تحتوي على نفسها أو لا تحتوي على نفسها،
• ومفارقة الكذّاب، القائمة على ادعاءات الصدق ذات الإحالة الذاتية.

وقد أدّت هذه المفارقات دورًا مهمًا في حفز مقاربات جديدة لأسس الرياضيات، شملت نظرية الأنماط، ونظرية المجموعات البديهية، وما تلاها من تطورات في الدلالات الصورية ونظرية الحوسبة.

3. الأهمية الفلسفية والمنطقية

تثير مفارقة بيري أسئلة حول التعريف والإحالة والمعنى في اللغات الطبيعية، وحول المعالجة الصورية لهذه المفاهيم.

1. غموض «قابل للتسمية» و«قابل للتعريف» تعتمد المفارقة على مفهوم غير صوري لـ«قابل للتسمية باللغة الإنجليزية بعدد من الكلمات أقل من N». فاللغة الإنجليزية غير محددة بدقة: فالحدود بين التعبيرات المترادفة والاختصارات والمفردات التقنية غير واضحة. ويرى النقاد أنه بمجرد فهم «قابل للتسمية» فهمًا غير صوري، فإن المفارقة لا تُفضي إلى تناقض صارم بقدر ما تكشف عن عدم دقة اللغة الطبيعية واعتمادها على السياق.
2. الإحالة الذاتية والإغلاق الدلالي يستخدم البناء لغةً مغلقة دلاليًا بمعنى ما: إذ تستطيع الإنجليزية الحديث عن عبارات إنجليزية وعن ما يمكن تسميته بالإنجليزية. وهذا يُيسّر شكلًا من الإحالة الذاتية شبيهًا بما في مفارقة الكذّاب. وقد استخدم الفلاسفة مفارقة بيري لتوضيح كيف يمكن للتوصيفات الذاتية الإحالة للتعبيرات، ولا سيما تلك المتعلقة بالطول أو التعقيد أو قابلية التعريف، أن تولّد تناقضات أو ظواهر شبيهة بالمفارقات.

• هل كل عدد يمكن وصفه بالحدس يمكن تعريفه صوريًا، و
• هل يمكن ضبط الحديث عن «أصغر عدد لا يمكن تعريفه بصيغة طولها أقل من N» ضبطًا دقيقًا دون تناقض.

4. العلاقة بتعقيد كولموغوروف ونظرية المعلومات تظهر نسخة صورية محكمة من مفارقة بيري في مناقشات تعقيد كولموغوروف، وهو مقياس أقصر وصف (مثل برنامج) يُخرج شيئًا معينًا. وبشكل غير صوري، يمكن للمرء أن يتحدث عن: «أصغر عدد صحيح لا يمكن تحديده بوصف أقصر من M بت.» ويظهر توتر موازٍ: فإذا عُيّن مثل هذا العدد بتلك العبارة، فإن له وصفًا قصيرًا، خلافًا للشرط. وبينما تتجنب النظرية الحديثة التناقض الصريح بتعريف التعقيد داخل إطار صوري محدد بدقة، فإن الجاذبية الحدسية لمفارقة بيري تُبيّن حدود قابلية الضغط والوصف.

4. الاستجابات والحلول

اقترح الفلاسفة والمناطقة عدة استراتيجيات للتعامل مع مفارقة بيري. ولا توجد استراتيجية واحدة مقبولة عالميًا بوصفها التشخيص الصحيح الوحيد، لكنها مجتمعةً تبيّن كيف يمكن تفكيك التناقض الظاهر.

• أبجدية ثابتة وتركيب نحوي محدد،
• مقياس دقيق لطول الصيغ،
• وتعريف صارم لما يُعدّ «تعريفًا» أو «تسميةً» لعدد.

2. مقاربات الأنماط والتراتبية مستوحاة من العمل التأسيسي الخاص بِرَسل، تُدخل بعض المقاربات تراتبيات من اللغات (لغة الموضوع مقابل الميتالغة) أو قيودًا على الأنماط لمنع الإحالة الذاتية الماكرة. وفي ظل هذه الأطر، تُعامَل العبارات التي تكمّم على «جميع العبارات الإنجليزية الأقل من N كلمة» ثم تحاول أن تكون من بين تلك العبارات بوصفها غير مشروعة أو بوصفها تنتمي إلى نمط أعلى. وهكذا تُتجنَّب المفارقة، وإن كان بعضهم يرى في ذلك تقييدًا للقدرة التعبيرية للغة.
3. التحليلات الدلالية والتداولية يقترح بعض المنظّرين أن المفارقة تستغل خصائص دقيقة للمعنى والسياق والاستعمال في اللغة الطبيعية. ويجادلون بأن العبارة «غير القابلة للتسمية في أقل من N كلمة» تتغير دلالتها متى أُخذ في الاعتبار فعل استعمالها ذاته، أو أنها تعتمد على جوانب إشارية أو نسبية إلى السياق في كلمة «القابل للتسمية» لا يمكن تثبيتها أثناء إجراء الاستدلال المفارق. وعلى هذه الآراء، يُظهر الاستدلال أمورًا عن تعقيد دلالات اللغة الطبيعية أكثر مما يُظهره عن الرياضيات نفسها.
4. ويرى آخرون أن مفارقة بيري متصلة فلسفيًا بمبرهنات غödel لعدم الاكتمال وبمختلف الحجج القطرية. ومع أنها ليست متطابقة في الصورة، فإن الاستدلال من نوع بيري يبرز أن أي نظام كافٍ في تعبيره، يستطيع تمثيل تركيبه الخاص أو مفاهيم قابليته للتعريف، معرّضٌ لتوليد عبارات تشير بشكل غير مباشر إلى عدم قابليته للتعريف (أو قابليته له). وضمن هذا التقليد التأويلي، لا تُرفض المفارقة ببساطة، بل تُعدّ سابقةً غير صورية لمبرهنات أقوى صوريًا عن حدود الأنظمة الصورية.

ونظرًا لهذه التأويلات المتباينة، تُصنَّف مفارقة بيري كثيرًا بوصفها «مثيرةً للجدل» من حيث وضعها: فهي ليست تناقضًا منطقيًا مباشرًا في نظام صوري محدد تحديدًا كاملًا، بل لغزٌ فلسفي مشحون حول التفاعل بين اللغة والإحالة والوصف الرياضي. وتظل مثالًا مهمًا في نقاشات المفارقات الدلالية، والتعريفية، وفلسفة الرياضيات.